旋转矩阵的物理意义与坐标变换证明
1. 旋转矩阵的定义
假设存在两个原点重合的坐标系：参考坐标系 $A$ 和 旋转后的坐标系 $B$。坐标系 $B$ 的三个正交单位基向量在 $A$ 系下可以表示为三个列向量：${}^A x_B$、${}^A y_B$ 和 ${}^A z_B$。
所谓的旋转矩阵 ${}^A R_B$，本质上就是把坐标系 $B$ 的三个基向量在 $A$ 系下的投影坐标按列排起来构成的 $3 \times 3$ 矩阵：
$$ {}^A R_B = \begin{bmatrix} {}^A\vec{x}_B & {}^A\vec{y}_B & {}^A\vec{z}_B \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x_{Bx} & y_{Bx} & z_{Bx} \\
x_{By} & y_{By} & z_{By} \\
x_{Bz} & y_{Bz} & z_{Bz}
\end{bmatrix} $$
2. 坐标变换公式证明 (基向量投影法)
已知空间中固定一点 $P$，该点在坐标系 $B$ 下的坐标向量为 ${}^B P = [p_{bx}, p_{by}, p_{bz}]^T$。求证该点在 $A$ 系下的坐标 ${}^A P = {}^A R_B \cdot {}^B P$。
Step 1：物理向量的基底表示
不论在哪个坐标系，空间点 $P$ 对应的物理向量 $\vec{P}$ 是唯一不变的。它可以被坐标系 $B$ 的基向量线性表出：
不论在哪个坐标系，空间点 $P$ 对应的物理向量 $\vec{P}$ 是唯一不变的。它可以被坐标系 $B$ 的基向量线性表出：
$$ \vec{P} = p_{bx}\vec{x}_B + p_{by}\vec{y}_B + p_{bz}\vec{z}_B $$
Step 2：向坐标系 A 投影求坐标分量
点 $P$ 在 $A$ 坐标系下的三个坐标分量 ${}^A P = [p_{ax}, p_{ay}, p_{az}]^T$，就是将物理向量 $\vec{P}$ 分别与 $A$ 系的三个基向量做点乘（投影）：
点 $P$ 在 $A$ 坐标系下的三个坐标分量 ${}^A P = [p_{ax}, p_{ay}, p_{az}]^T$，就是将物理向量 $\vec{P}$ 分别与 $A$ 系的三个基向量做点乘（投影）：
$$ p_{ax} = \vec{P} \cdot \vec{x}_A $$
$$ p_{ay} = \vec{P} \cdot \vec{y}_A $$
$$ p_{az} = \vec{P} \cdot \vec{z}_A $$
Step 3：代入展开并转换为矩阵形式
将 Step 1 中的等式代入 Step 2 并利用点积的线性性质展开：
将 Step 1 中的等式代入 Step 2 并利用点积的线性性质展开：
$$ p_{ax} = (p_{bx}\vec{x}_B + p_{by}\vec{y}_B + p_{bz}\vec{z}_B) \cdot \vec{x}_A = p_{bx}(\vec{x}_B \cdot \vec{x}_A) + p_{by}(\vec{y}_B \cdot \vec{x}_A) + p_{bz}(\vec{z}_B \cdot \vec{x}_A) $$
$$ p_{ay} = (p_{bx}\vec{x}_B + p_{by}\vec{y}_B + p_{bz}\vec{z}_B) \cdot \vec{y}_A = p_{bx}(\vec{x}_B \cdot \vec{y}_A) + p_{by}(\vec{y}_B \cdot \vec{y}_A) + p_{bz}(\vec{z}_B \cdot \vec{y}_A) $$
$$ p_{az} = (p_{bx}\vec{x}_B + p_{by}\vec{y}_B + p_{bz}\vec{z}_B) \cdot \vec{z}_A = p_{bx}(\vec{x}_B \cdot \vec{z}_A) + p_{by}(\vec{y}_B \cdot \vec{z}_A) + p_{bz}(\vec{z}_B \cdot \vec{z}_A) $$
将上述标量方程组提取公因数并写成矩阵乘法形式：
$$
\begin{bmatrix} p_{ax} \\ p_{ay} \\ p_{az} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\vec{x}_B \cdot \vec{x}_A & \vec{y}_B \cdot \vec{x}_A & \vec{z}_B \cdot \vec{x}_A \\
\vec{x}_B \cdot \vec{y}_A & \vec{y}_B \cdot \vec{y}_A & \vec{z}_B \cdot \vec{y}_A \\
\vec{x}_B \cdot \vec{z}_A & \vec{y}_B \cdot \vec{z}_A & \vec{z}_B \cdot \vec{z}_A
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} p_{bx} \\ p_{by} \\ p_{bz} \end{bmatrix}
$$
Step 4：代入定义得出结论
观察中间的 $3 \times 3$ 矩阵，其第一列正是 $x_B$ 在 $A$ 系的分量（即 ${}^A x_B$），第二列和第三列同理。这正是第一节中给出的旋转矩阵的定义。因此等式化简为：
观察中间的 $3 \times 3$ 矩阵，其第一列正是 $x_B$ 在 $A$ 系的分量（即 ${}^A x_B$），第二列和第三列同理。这正是第一节中给出的旋转矩阵的定义。因此等式化简为：
$$ {}^A P = {}^A R_B \cdot {}^B P $$
得证。这就说明了为什么对向量左乘旋转矩阵，能够实现坐标系表示的变换。