02 - 齐次变换与链式法则可视化

🔗 运动学的“链式法则” (The Chain Rule)

任何在末端坐标系 $\{3\}$ 中已知的点 $^3\mathbf{p}$，都可以通过连续左乘相邻坐标系的齐次变换矩阵，一级一级投影回基坐标系 $\{0\}$。

📐 展开推导过程：

步骤 1：由内向外逐步代入展开

$$^0p = \,^0T_1 \cdot \,^1p = \,^0T_1 \cdot (^1T_2 \cdot \,^2p) = \,^0T_1 \cdot (^1T_2 \cdot (^2T_3 \cdot \,^3p)) = (^0T_1 \cdot \,^1T_2 \cdot \,^2T_3) \cdot \,^3p$$

步骤 2：直接齐次变换关系

$$^0p = \,^0T_3 \cdot \,^3p$$

步骤 3：矩阵连乘消元法则（右下消左上）

$$^0T_{\cancel{\color{#ef4444}{1}}} \cdot \,^{\cancel{\color{#ef4444}{1}}}T_{\cancel{\color{#10b981}{2}}} \cdot \,^{\cancel{\color{#10b981}{2}}}T_3 = \,^0T_3$$

📦 齐次变换矩阵 $^0\mathbf{T}_3$ 内部结构解构

复合变换矩阵 $^0\mathbf{T}_3$ 天然划分为姿态旋转部分与位置平移部分：

$r_{11}$

$r_{12}$

$r_{13}$

$P_x$

$r_{21}$

$r_{22}$

$r_{23}$

$P_y$

$r_{31}$

$r_{32}$

$r_{33}$

$P_z$

$0$

$1$

■ 橙色 $3\times 3$ 区域：末端在基坐标系下的姿态（旋转矩阵 $\mathbf{R}$）。
■ 蓝色 $3\times 1$ 区域：末端坐标系原点在基坐标系下的位置（位移向量 $\mathbf{P}$）。