图1: $x_1$ 轴在 $\{0\}$ 系下的投影

(绕 $z_0$ 轴旋转 $\theta$ 角，绘制 $x_1$ 轴投影虚线)

$x_1$ 在 $\{0\}$ 下表示为 ${}^0 x_1$：
$$ \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{bmatrix} $$

图2: $y_1$ 轴在 $\{0\}$ 系下的投影

(绕 $z_0$ 轴旋转 $\theta$ 角，绘制 $y_1$ 轴投影虚线)

$y_1$ 在 $\{0\}$ 下表示为 ${}^0 y_1$：
$$ \begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{bmatrix} $$

(绕 $z_0$ 轴旋转 $\theta$ 角，无投影虚线)

$z_1$ 在 $\{0\}$ 下表示为 ${}^0 z_1$：
$$ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

将 $\{1\}$ 系的基向量排成列向量，即可构成完整的旋转矩阵

$x_1$ 在 $\{0\}$ 下表示为 ${}^0x_1$：
$$ \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{bmatrix} $$

$y_1$ 在 $\{0\}$ 下表示为 ${}^0y_1$：
$$ \begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{bmatrix} $$

$z_1$ 在 $\{0\}$ 下表示为 ${}^0z_1$：
$$ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

{}^0R_1 = R_z(\theta) = \begin{bmatrix} {}^0x_1 & {}^0y_1 & {}^0z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}