📌 刚体上任意固定点 $P$ 在世界坐标系下的绝对位置：
* 第一项 ${}^0\mathbf{p}_{O_b}(t)$：刚体坐标系自身原点 $O_b$ 在世界系下的绝对位置；
* 第二项 $\mathbf{r} = {}^0R_b(t) \cdot {}^b\mathbf{p}_P$：从刚体原点 $O_b$ 指向点 $P$ 的相对位置矢量，在世界坐标系下的表示。
方法 A：纯数学运动学求导
求导法则
对时间求导，第一项就是原点的平移线速度 ${}^0\mathbf{v}_{O_b} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({}^0\mathbf{p}_{O_b})$；第二项由于 ${}^b\mathbf{p}_P$ 是本体系常数，只对旋转矩阵求导。
方法 B：大学物理基点法公式
理论力学
刚体上任意一点的绝对速度，等于基准点的平移速度，加上刚体绕该基准点转动产生的线速度 $\mathbf{v}_{rot} = {}^0\boldsymbol{\omega}_b \times \mathbf{r}$。
🎯 平移速度对消与正交矩阵换元：
1. 两边都有原点平移速度 ${}^0\mathbf{v}_{O_b}$，直接相互抵消！
2. 由于 $\mathbf{r} = {}^0R_b(t) \cdot {}^b\mathbf{p}_P$，利用旋转矩阵的正交性（$R^{-1} = R^T$），反解出 ${}^b\mathbf{p}_P = ({}^0R_b)^T \mathbf{r}$ 代入。
3. 深刻物理事实：刚体的角速度纯粹由姿态变化决定，跟坐标系怎么平移没有任何关系！
🔗 承接步骤 2 的等式：将叉乘替换为反对称矩阵乘法
💡 观察对比：式子 1 与式子 2 的完全等价性
式子 2：特殊 $3 \times 3$ 矩阵乘法展开
矩阵代数
🎉 发现：式子 1 的叉乘结果，和式子 2 的矩阵乘法结果完全一模一样！
🧠 反对称矩阵 $[\boldsymbol{\omega}]_\times$ 的两步极简构造口诀
性质：$[\boldsymbol{\omega}]_\times = -([\boldsymbol{\omega}]_\times)^T$（转置取相反数变回自己）
- 第一步：主对角线全填 0；在对角线上方，按逆时针方向填入三个分量，符号顺序依次为负、正、负（即 $-\omega_z, \omega_y, -\omega_x$）；
- 第二步：把右上角这三个元素沿着主对角线折叠翻转，全部取相反数。
🏆 角速度公式：
📌 为什么可以直接消去 $\mathbf{r}$？ 因为等式 $\Big(\dot{R}_b R_b^T - [{}^0\boldsymbol{\omega}_b]_\times\Big)\mathbf{r} = \mathbf{0}$ 对空间中任意点 $P$ 对应的任意非零向量 $\mathbf{r}$ 恒成立，故括号内的系数矩阵必为零矩阵，两边矩阵严格恒等！
⚠️ 注意哦，这样计算出来的不是刚体在世界坐标系下的角速度，而是这个角速度的反对称矩阵！提取对应分量即可直接得到角速度向量 $\boldsymbol{\omega}$。