🚀 准备好这两个工具，推导就变成了一个代数版的消消乐小游戏。
坐标系与连乘位姿设定
设基坐标系为 $\{0\}$，连杆 $i$ 的坐标系为 $\{i\}$：
• 设 $R_i = {}^{i-1}R_i$ 为连杆 $i$ 相对于连杆 $i-1$ 的局部相对旋转矩阵；
• 则末端连杆 $n$ 相对于世界系的总旋转矩阵就是各个局部矩阵的连乘：
角速度反对称矩阵微分定义
根据上一节的结论，我们可以这么计算末端在世界系下的角速度反对称矩阵：
步骤 1：矩阵乘积的求导法则（对时间求导）
根据矩阵乘积的求导法则，对时间求导得到：
步骤 2 & 3：右乘倒序转置矩阵与【多米诺消消乐】
把旋转矩阵的求导结果代入，同时注意矩阵连乘的转置要倒序展开：$({}^0R_n)^T = R_n^T R_{n-1}^T \dots R_1^T$。此时由于每个局部矩阵满足正交性 $R_k R_k^T = I$，中间所有的相邻项会一对一对地全部抵消掉！展开式化简为很对称的形式：
步骤 4：套用结论 1（旋转矩阵钻入反对称矩阵内部）
每一个小括号里的 $\dot{R}_k R_k^T$，本质上就是关节 $k$ 产生的相对角速度反对称矩阵 $[\boldsymbol{\omega}_k]_\times$。
此时，套用我们刚才推导的结论 1（$R[\mathbf{v}]_\times R^T = [R\mathbf{v}]_\times$），外层的旋转矩阵直接“钻”进反对称矩阵内部：
步骤 5：利用结论 2 线性叠加性合并
再利用结论 2 的线性叠加性，得到：
🏆 最终合成公式
把外层的反对称括号拿掉，我们就得到了串联机械臂末端角速度的合成公式：