平面 2 连杆机构 - 标准 DH 正运动学与角速度合成推导

i	θᵢ	dᵢ	aᵢ	αᵢ
1	45°	0	4	0°
2	30°	0	3	0°

📐 2 连杆正运动学与角速度合成推导

基于标准 DH 参数矩阵计算、旋转矩阵提取以及绝对角速度合成

1. 标准 DH 齐次变换矩阵通式

2. 连杆 1: 计算齐次矩阵 ${}^0T_1$ 并提取旋转矩阵 ${}^0R_1$

代入连杆 1 的 DH 参数 ($d_1 = 0, a_1 = 4, \alpha_1 = 0^\circ$)：

📌 提取说明：齐次变换矩阵左上角 $3 \times 3$ 子矩阵即为坐标系 $\{1\}$ 相对基坐标系 $\{0\}$ 的旋转矩阵 ${}^0R_1$。

1. 各关节在各自局部坐标系下的角速度矢量

两关节转轴均沿各自坐标系的 $z$ 轴方向，在各自局部坐标系中表示为：

2. 利用提取出的旋转矩阵 ${}^0R_1$ 进行角速度投影变换

将连杆 2 的局部角速度 $\boldsymbol{\omega}_2^{(1)}$ 投影变换到基坐标系 $\{0\}$ 中：

💡 几何本质：由于两关节转轴均平行于基系 $z$ 轴，绕 $z$ 轴的旋转矩阵 $R_z(\theta_1)$ 作用在平行于 $z$ 轴的向量上时方向保持不变，即 ${}^0R_1 \hat{\mathbf{z}} = \hat{\mathbf{z}}$。

3. 末端连杆在基坐标系下的总角速度合成

基坐标系下连杆 2 的绝对角速度为两转轴速度矢量的矢量叠加：

当前位姿下齐次矩阵与提取的旋转矩阵数值解:

实时角速度投影与合成代入解算:

🎯 几何结论与物理意义

1. 标量直接代数相加：由于平面 2 连杆机构的所有转轴互相平行且均垂直于运动平面，${}^0R_1$ 不改变 $\boldsymbol{\omega}_2$ 的轴向，因此连杆 2 的绝对角速度正是两个关节角速度的纯标量和（$\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2$）。
2. 空间机构的差异：若机构转轴发生空间扭转（即 $\alpha_i \neq 0$），提取出的旋转矩阵 ${}^{i-1}R_i$ 会将局部速度轴向扭转至其他空间方向，此时必须依赖矩阵-向量形式进行严格投影与合成。