3 自由度机械臂 - 标准 DH 正运动学与空间角速度合成推导

i	θᵢ	aᵢ	αᵢ
1	30°	4	0°
2	25°	3	-90°
3	20°	2.5	0°

📐 3 自由度机械臂正运动学与角速度合成推导

前两关节共面转动，第三关节经 $\alpha_2 = -90^\circ$ 扭角变为空间正交轴线转动

1. 标准 DH 齐次变换矩阵通式

2. 连杆 1: 计算齐次矩阵 ${}^0T_1$ 并提取旋转矩阵 ${}^0R_1$

代入连杆 1 的 DH 参数 ($d_1 = 0, a_1 = 4, \alpha_1 = 0^\circ$)：

📌 提取说明：齐次变换矩阵左上角 $3 \times 3$ 子矩阵即为坐标系 $\{1\}$ 相对基坐标系 $\{0\}$ 的旋转矩阵 ${}^0R_1$。

3. 连杆 2: 计算齐次矩阵 ${}^1T_2$ 并提取旋转矩阵 ${}^1R_2$

代入连杆 2 的 DH 参数 ($d_2 = 0, a_2 = 3, \alpha_2 = -90^\circ$)：

📌 复合旋转：从基坐标系到坐标系 $\{2\}$ 的方向变换为 ${}^0R_2 = {}^0R_1 {}^1R_2$。

1. 各关节在各自局部坐标系下的角速度矢量

在标准 DH 框架下，每一个关节的转轴始终定义为自身坐标系的 $z$ 轴：

2. 利用提取出的旋转矩阵将各关节速度投影映射至基坐标系

分别通过 ${}^0R_1$ 与 ${}^0R_2$ 变换将 $\boldsymbol{\omega}_2^{(1)}$ 和 $\boldsymbol{\omega}_3^{(2)}$ 转换至基系 $\{0\}$：

💡 空间几何现象： 1. 关节 1 与关节 2 转轴平行 ($Z_0 \parallel Z_1$)，因此 ${}^0R_1$ 保持 $\boldsymbol{\omega}_2$ 沿 $z$ 轴的方向完全不变；
2. 连杆 2 的扭角 $\alpha_2 = -90^\circ$ 将关节 3 的转轴 $Z_2$ 扭转至与前两轴正交的平面内，受 $\theta_{12} = \theta_1 + \theta_2$ 空间周期性调制。

3. 末端连杆在基坐标系下的空间合成总角速度

将基坐标系下各关节的角速度矢量直接相加：

当前位姿下齐次变换矩阵与复合旋转矩阵数值解:

实时三维空间角速度矢量代入解算:

🎯 空间几何与物理深度剖析

1. 共线平行轴直接叠加：关节 1 和关节 2 的转轴保持平行且垂直于运动平面，其速度贡献表现为纯标量相加（$\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2$）；
2. 空间正交进动调制：关节 3 的转轴经 $\alpha_2 = -90^\circ$ 扭转后位于 $XY$ 平面，其方向随前两个连杆的转动发生空间立体偏航扫掠。